수학 관련 최고의 책들: 호기심 많은 독자를 위한 필독서 가이드
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대부분의 사람들에게 수학과의 인연은 학교에서 끝난다. 암기해야 할 공식, 증명해야 할 정리, 통과해야 할 시험의 기억과 함께. 그러나 교과서에 담기지 않는 또 다른 수학이 있다. 수학자들이 실제로 연구하는 학문, 즉 유희적이고 놀랍고 심미적이며 종종 심오한 수학이다. 이 수학이 다루는 핵심 질문들—왜 우주는 수의 언어로 말하는가? 결코 증명할 수 없는 수학적 진리가 존재하는가? 어떤 무한이 다른 무한보다 클 수 있는가?—은 문학이나 철학 못지않은 철학적 깊이를 지닌다.
아래 소개하는 책들은 그 세계로 들어가는 최선의 입구다. 역사서도 있고, 논증서도 있고, 하나의 개념을 극한까지 추적하는 탐구서도 있다. 어느 것도 고등학교 수준 이상의 수학 지식을 요구하지 않는다. 그리고 모두, 어느 순간 독자를 멈추게 한다. 이렇게 숫자로도 이런 걸 할 수 있었구나.
불후의 걸작
더글러스 호프스태터의 괴델, 에셔, 바흐: 영원한 황금 노끈(1979)은 출판된 지 거의 반세기가 지난 지금도 수학과 정신의 본질에 대해 쓰인 책 중 가장 야심차고 가장 풍요로운 책으로 남아 있다. 형식 논리학의 불완전성 정리를 핵심 주제로 삼은 책이 1980년 퓰리처상 일반 논픽션 부문을 수상했다는 사실은 그 자체로 경이롭다. 이 책은 이후 인지과학, 인공지능, 심리철학의 토대 텍스트 중 하나가 되었다.
책은 세 인물을 조직 원리로 사용한다. 형식 체계가 완전하고 일관될 수 없다는 것을 증명하며 수학적 완전성의 꿈을 산산이 부순 쿠르트 괴델, 불가능한 계단과 서로를 그리는 손을 통해 ‘이상한 고리’라는 개념을 시각화한 M.C. 에셔, 재귀적이고 자기 지시적인 구조에서 복잡한 아름다움이 출현하는 방식을 보여준 요한 세바스티안 바흐. 호프스태터는 의식 자체가 일종의 이상한 고리—‘나’라는 감각을 만들어내는 자기 지시적 패턴—라고 주장한다.
괴델, 에셔, 바흐는 빠르게 읽히는 책이 아니다. 루이스 캐럴에게서 빌려온 아킬레스와 거북이의 대화가 각 장을 가르며, 언어 유희를 통해 개념을 예시한다. 이 책을 읽는 것은 책을 읽는다기보다 점진적인 인지 변환을 겪는 것에 가깝다. 책이 요구하는 방식으로 만날 준비가 된 독자에게, 이 책은 사고에 대한 사고 방식 자체를 바꿔놓을 것이다.
누구나 즐길 수 있는 수학의 경이
조던 엘런버그의 틀리지 않는 법: 수학적 사고의 힘(2014)은 내가 아는 한 수학이 왜 교실 바깥에서 중요한지를 설명하는 최선의 책이다. 위스콘신 대학교 교수인 엘런버그는 단순한 전제에서 출발한다. 수학은 공식의 집합이 아니라 속지 않는 방법이다. 올바르게 적용된 수학적 사고는 개인의 결정부터 공공 정책까지 모든 것을 손상시키는 끈질긴 추론 오류로부터 당신을 보호한다.
책이 다루는 영역은 경이롭도록 광대하다. 복권 허점, 스웨덴 복권 당첨자들, 에이브러햄 왈드의 폭격기 총알 구멍 연구, 투표의 기하학, 비만 통계, 주식 시장—항상 수학적 추론이 실제로 무엇을 드러내는지, 드러내는 것처럼 보이는 것과는 어떻게 다른지라는 질문으로 돌아오면서. 엘런버그는 탁월한 설명가다. 그의 문장은 재치 있고 정확하며, 예시는 진정으로 놀라운 것들로 엄선되어 있고, 고등학교 이후로 회귀선에 대해 생각해본 적 없는 독자에 대한 인내심은 무한한 듯하다.
통계적 유의성과 p값에 대한 이 책의 설명은 대중 과학 글쓰기 어디서도 찾기 힘든 명료함을 보여준다. 틀리지 않는 법은 당신을 더 날카로운 뉴스 독자, 더 회의적인 데이터 소비자, 더 나은 사고자로 만들어줄 것이다. 그리고 내내, 정말 재미있다.
숫자 뒤의 인간 이야기
사이먼 싱의 페르마의 마지막 정리(1997)는 수학적 스토리텔링의 걸작이다. 정리 자체—피에르 드 페르마가 1637년 책의 여백에 남긴 메모, 증명을 끝내 쓰지 않은 채로, n이 2보다 큰 정수일 때 aⁿ + bⁿ = cⁿ을 만족하는 양의 정수 a, b, c는 없다는 주장—은 358년 동안 증명되지 않은 채, 역사상 가장 위대한 수학적 정신들의 노력을 모두 물리쳤다. 마침내 1995년, 프린스턴의 영국 수학자 앤드루 와일스가 7년간 비밀리에 작업한 끝에 이를 풀어냈다.
싱은 전체 여정을 추적한다. 고대 그리스부터 오일러와 소피 제르맹을 거치는 정수론의 역사, 단순한 정수에 관한 문제와 예상 외로 연관된 타원 곡선과 모듈 형식의 발전, 와일스의 고독한 7년간의 작업, 이어진 승리의 발표, 그리고 치욕적인 결함의 발견—그리고 마침내 결함을 봉합한 1년간의 고뇌까지. 최종 증명은 수백 페이지에 달하며, 페르마가 메모를 남겼을 때는 존재하지 않았던 수학적 도구를 요구한다. 이는 불안한 질문을 남긴다. 페르마에게 정말 증명이 있었을까? 있었다면, 그것은 과연 무엇이었을까?
폴 호프만의 수학만을 사랑한 남자(1998)는 20세기 가장 다작한 수학자이자 가장 기이한 인간 중 하나인 폴 에르되시의 전기다. 에르되시는 집도, 은행 계좌도, 두 개의 여행 가방 외의 어떤 소지품도 없었다. 그는 세계의 수학자들 사이를 끊임없이 여행하며, 동료들의 집 문 앞에 며칠이나 몇 주간 나타나 미친 듯이 연구하고는 떠나갔다. 그는 1,500편 이상의 수학 논문을 썼고—역사상 어떤 수학자보다 많은—약 511명의 공동 저자와 함께했다. 이로 인해 어떤 수학자와 에르되시 사이의 협업 거리를 나타내는 ‘에르되시 수’ 개념이 탄생했다.
호프만의 초상은 동시에 우습고, 감동적이며, 수학 연구의 문화—커피와 밤샘 작업, 10년이 걸리는 문제와 샤워 중에 찾아오는 통찰, 세상 대부분이 존재도 모르는 질문에 평생을 바치기로 선택한 사람들의 공동체—를 향한 진정한 창문이다.
정신을 뒤흔드는 개념들
로버트 카플란과 엘런 카플란의 무한의 예술(2003)은 수학에서 가장 진정으로 낯선 개념 중 하나를 다룬다. ‘매우 큰 수’를 의미하는 느슨한 은유로서의 무한이 아니라, 모든 엄밀한 이상함을 갖춘 수학적 무한—게오르크 칸토어의 발견, 즉 어떤 무한은 다른 무한보다 크다는 것, 항상 가득 차 있으면서 항상 더 많은 손님을 수용할 공간이 있는 힐베르트의 호텔, 19세기 여러 수학자들을 정신 붕괴로 몰아넣은 무한 집합의 역설들.
카플란 부부는 유달리 우아한 문장으로 쓴다. 그들의 산문은 정확성을 잃지 않으면서 수학적 발견의 철학적 차원에 손을 뻗으며, 책의 진행—수세기부터 기하학, 미적분, 무한까지—은 아이디어 자체의 역사적 발전을 반영한다. 마지막 장까지 도달한 독자는 수학자들이 칸토어의 대각선 논증을 역사상 가장 아름다운 증명 중 하나로 여기는 이유를 진정으로 이해하게 될 것이다.
맷 파커의 4차원에서 만들고 놀기(2014)는 전혀 다른 방향에서 수학에 접근한다. 바로 놀이다. 스탠드업 코미디언이자 유튜브 수학자인 파커는 수학적 개념에 대해 그것으로 무엇을 할 수 있는지—구체적으로, 무엇을 만들고, 접고, 자르고, 묶을 수 있는지—를 즉각 묻지 않고는 논할 수 없는 사람이다. 책은 위상수학, 고차원 기하학, 소수, 그래프 이론을 종이와 가위만으로 할 수 있는 일련의 건축, 퍼즐, 실험을 통해 다룬다.
파커의 접근은 형식적인 수학 교육이 종종 감추는 무언가를 보여주기에 가치 있다. 수학적 대상들은 이상적인 영역에 떠도는 추상이 아니라 손에 쥐고, 조작하고, 마음뿐 아니라 손가락으로도 이해할 수 있는 것들이라는 사실.
역사와 철학
필즈상 수상자—수학계의 노벨상에 해당하는—인 티머시 가워스의 수학: 아주 짧은 입문(2002)은 인쇄된 형태로 구할 수 있는 수학의 철학적 토대에 대한 가장 효율적인 입문서다. 수학이란 무엇인가? 수학은 어떤 종류의 대상을 다루는가? 수는 발명된 것인가, 발견된 것인가? 무엇이 증명을 엄밀하게 만드는가? 160페이지 분량으로, 한 학기 수학철학 강의가 다루는 내용을 주제에 대한 완전한 장악에서 나오는 명료함으로 다룬다.
더 넓은 역사적 조망을 원한다면, 칼 보이어와 우타 메르츠바흐의 수학의 역사가 바빌로니아 산술부터 20세기까지 3천 년의 수학적 발전을 다룬다. 대중화가 아닌 진정한 역사서로서, 구체적인 인물과 문화, 순간을 통해 아이디어를 추적하며, 수학의 진보가 얼마나 세기와 문명을 넘나드는 아이디어의 교차 수분에 의존해왔는지를 드러낸다.
수학 독서 여정 추적하기
수학에 관한 책을 읽는 즐거움 중 하나는 각 책이 다른 책으로 가는 문을 열어준다는 것이다. 페르마의 마지막 정리는 자연스럽게 정수론으로, 괴델 에셔 바흐는 컴퓨터 과학과 심리철학으로, 틀리지 않는 법은 통계와 확률로 이어진다. Bookdot과 같은 독서 기록 앱은 이러한 연결을 지도로 만드는 데 도움이 된다. 첫 번째 정상에서 멈추지 않고 수학적 아이디어의 풍경을 따라 진정한 호기심이 이끄는 방향으로 개인 독서 목록을 구성하는 것이다.
목표는 수학을 마스터하는 것이 아니다. 그것은 수십 년의 헌신적인 연구를 필요로 한다. 목표는 수학적 사고가 일반적인 사고와 어떻게 다른지, 그 차이가 왜 중요한지에 대한 실질적인 이해를 기르는 것이다. 이 목록의 책들은 그것을 줄 것이다. 그리고 덜 실용적이지만 더 가치 있는 무언가도 줄 것이다. 수학과 어쩌면 특정 종류의 음악에서만 누릴 수 있는 감각—정확히 그래야만 했던, 달리 될 수 없었던, 그리고 그것을 발견한 문명이 사라진 뒤에도 오래도록 참으로 남을 진리와 마주하는 감각을.
